Nonostante il suo elevato grado di astrazione, l’algebra moderna ha profondi collegamenti con molti altri settori della matematica e di altre scienze. Ciò vale in particolare per l’algebra commutativa (che studia anelli commutativi e moduli su di essi), di cui nel corso di Istituzioni di Algebra si esplorano i legami con la geometria algebrica e la teoria dei numeri. Altri importanti ambiti algebrici, come algebra omologica e algebra non commutativa, sono trattati nei corsi di Algebra superiore e di Complementi di Algebra (attivati ad anni alterni).

In sintesi, i corsi collocati in questo ambito sono:

• Algebra Superiore (non attivata nell’A.A. 2024-25)
• Complementi di Algebra
• Istituzioni di Algebra

Un aspetto che caratterizza la geometria moderna è l’intrinseca non linearità dei problemi. In prima approssimazione gli oggetti di studio diventano luoghi di zeri di equazioni algebriche o più generalmente differenziali. Tali luoghi sono curvi, spesso con topologia non banale, ma descrivibili localmente per mezzo di coordinate. La perdita di linearità si riflette nella necessità di una riflessione sulle strutture geometriche, sulla dialettica tra locale e globale, sulla ricerca di un linguaggio che permetta di recuperare, in qualche modo, le costruzioni tipiche del calcolo negli spazi euclidei.
Il corso istituzionale di geometria (Istituzioni di Geometria Superiore) propone un’introduzione alla teoria delle varietà, che rappresenta uno dei fulcri della geometria moderna, con forti interconnessioni in altri ambiti della matematica e della fisica teorica.

Oltre al corso istituzionale vengono erogati alcuni corsi di approfondimento. Nello specifico, Geometria Superiore, corso di carattere monografico erogato di norma tutti gli anni, tocca alcuni temi avanzati della geometria e/o della topologia.
Invece i corsi di Curve algebriche e superfici di Riemann e Algebraic geometry, di norma erogati ad anni alterni, forniscono le basi per lo studio della geometria algebrica classica.

In sintesi, i corsi collocati in questo ambito sono:

• Curve algebriche e superfici di Riemann
  
• Geometria Algebrica / Algebraic Geometry (non attivato nell’A.A. 2024-25)
• Geometria Differenziale (nuova istituzione A.A. 2024/25)
• Geometria Superiore
  
• Istituzioni di Geometria

Questo ambito è precipuamente rivolto a coloro che intendono che desiderano impegnarsi in attività professionali connesse alla diffusione della cultura scientifica e all’insegnamento della matematica, o impegnarsi in attività di ricerca nell’ambito della didattica della matematica o della storia delle matematiche, ossia coloro che seguono un percorso didattico.  I corsi offerti si concentrano sui processi di insegnamento e apprendimento della matematica, e sui diversi fattori legati a tali processi. A fianco della prospettiva didattica, vi troviamo il punto di vista storico, in cui l’attenzione è sull’origine e l’evoluzione di teorie, concetti e metodi della matematica, dei contesti culturali in cui queste hanno avuto luogo, e delle personalità scientifiche che vi hanno preso parte.

In sintesi, i corsi collocati in questo ambito sono:

• Didattica della Matematica
• Didattiche Specifiche della Matematica
• Matematiche Complementari
• Matematiche Elementari da un punto di vista superiore (non attivato nell’A.A. 2024/25)
• Storia della Matematica

Due aspetti caratterizzano gli insegnamenti offerti nell’ambito dell’Analisi Matematica: da un lato le equazioni alle derivate parziali (PDE) e i problemi di minimo, dall’altro l’ambiente funzionale in cui questi problemi vengono formulati. I corsi di Analisi Funzionale e di Analisi Funzionale ed Equazioni Differenziali affrontano in generale gli spazi infinito dimensionali e gli strumenti per l’analisi dei problemi. I corsi di Equazioni di Evoluzione e di Calcolo delle Variazioni sono in parte a carattere monografico e introducono alle questioni più rilevanti nei rispettivi ambiti.

In sintesi, i corsi collocati in questo ambito sono:

• Analisi Funzionale
• Analisi Funzionale ed Equazioni differenziali
• Calcolo delle Variazioni
• Equazioni di Evoluzione

Tra gli importanti aspetti della moderna Probabilità ci sono la teoria dei processi stocastici e le applicazioni alla finanza matematica. Oltre al corso istituzionale di Probabilità, sono previsti il corso Processi stocastici che fornisce gli elementi di base di questa teoria e il corso Finanza Matematica che si concentra su importanti applicazioni della Probabilità.

In sintesi, i corsi collocati in questo ambito sono:

• Finanza Matematica
• Probabilità
• Processi Stocastici
• Stochastic Differential Equations (corso CNR-Università nei Collegi, attivato per l’A.A. 2024/25)

Secondo un’avvincente ricostruzione della storia dei Sapiens, la rivoluzione iniziata dalla scienza moderna nel ‘600 si differenzia dalle forme di conoscenza che l’hanno preceduta per l’ammissione di ignoranza dinanzi al mondo e per la centralità dell’osservazione e della matematica nella costruzione di una nuova conoscenza. Il ruolo dello scienziato è raccogliere osservazioni e usare strumenti matematici per comporre le osservazioni in teorie coerenti. In questo quadro generale, tra i più accreditati del mondo occidentale, il corsi in ambito modellistico trovano una collocazione nei tre profili tipici indicati sopra.

Da un lato, infatti, possono fornire gli strumenti matematici per costruire le connessioni che formano le teorie. Così la teoria dell’elasticità o della materia soffice, come la meccanica in tutte le sue forme, classica, statistica o quantistica, diventano occasioni per l’apprendimento di un metodo di comprensione del reale. Questo è il contributo al nuovo paradigma dell’apprendimento più adatto ai tempi di rapido cambiamento che viviamo e ben sintetizzato nell’aforisma insegnare a imparare.

Dall’altro lato, nelle scienze moderne, lo studio dei fenomeni naturali e sociali, tutti caratterizzati dall’interazione e aggregazione di agenti diversi, avviene attraverso lo sviluppo e l’analisi di modelli matematici. Che si tratti di fenomeni che obbediscono a principi variazionali o di dissipazione, che siano deterministici o aleatori, la loro comprensione richiede un ampio ventaglio di conoscenze interdisciplinari e l’abilità di connettere tra loro scale di spazio e di tempo diverse. Così, per esempio, in una formazione equilibrata, le teorie della meccanica classica non saranno disgiunte da quelle della meccanica statistica o quantistica. I corsi offerti in questo ambito, alcuni monografici e con approfondimenti diversi in anni diversi, rappresentano un’occasione non comune per la creazione di un abito mentale genuinamente interdisciplinare. Obiettivo primario dell’indirizzo è formare matematici in grado di interagire costruttivamente con gli esperti delle diverse scienze applicate in attività di ricerca o professionali ad alto contenuto innovativo.

In sintesi, i corsi collocati in questo ambito sono:

• Fenomeni di Diffusione e Trasporto
• Meccanica Superiore
• Modelli Cinetidi ed applicazioni
• Strutture Geometriche della Fisica Matematica
• Teoria dei Sistemi Dinamici

I corsi offerti nell’ambito numerico consentono di apprendere i metodi numerici più utilizzati e promettenti nel moderno calcolo scientifico, dal punto di vista della loro formulazione astratta, della buona posizione matematica, e dal punto di vista della loro programmazione su sistemi di calcolo moderni. Le equazioni differenziali ed integrali, una volta formulate con gli strumenti del calcolo delle variazioni, possono essere risolte al calcolatore mediante il Metodo degli Elementi Finiti. Il corso di Elementi Finiti fornisce le basi teoriche del metodo, ne discute gli aspetti di implementazione algoritmica, e rappresenta un naturale complemento numerico ai corsi dell’ambito analitico. Il corso di Metodi Numerici Avanzati per le Equazioni alle Derivate Parziali sviluppa ulteriormente la tematica dal punto di vista metodologico, presentando alcuni argomenti di ricerca attuale. Infine, il corso di Biomatematica presenta tecniche numeriche dal punto di vista dell’applicazione, specializzandosi sui modelli della fisiologia cellulare, utilizzati, ad esempio in elettrocardiologia.

Oltre che nel percorso generale, i corsi offerti risultano efficaci anche nel  percorso modellistico-applicativo. Molti fenomeni di interesse in ambito fisico, biologico, economico e sociale sono descritti nel linguaggio matematico in termini di problemi differenziali, integro-differenziali, o problemi di ottimizzazione, tipicamente su domini spaziali complessi. La simulazione al calcolatore è oggigiorno centrale nello studio di tali fenomeni ed è lo strumento centrale nella progettazione ingegneristica, in finanza, e nella diagnosi e pianificazione in campo medico.

In sintesi, i corsi collocati in questo ambito sono:

• Biomatematica
• Elementi Finiti
• Machine Learning per il calcolo scientifico (nuova istituzione A.A. 2024/25)
• Metodi Numerici Avanzati per le Equazioni Differenziali
• Sistemi Dinamici: Teoria e Metodi Numerici

I fenomeni di interesse in ambito fisico, biologico, economico e sociale possono essere descritti nel linguaggio matematico in termini di problemi di ottimizzazione. La simulazione al calcolatore è oggigiorno centrale nello studio di tali fenomeni ed è lo strumento centrale nella progettazione ingegneristica, in finanza, e nella diagnosi e pianificazione in campo medico.
I corsi offerti nell’ambito della ricerca operativa consentono di affrontare e sviluppare una soluzione nei confronti di problemi di ottimizzazione, nonché dell’implementazione della soluzione mediante la programmazione su sistemi di calcolo moderni.

In sintesi, i corsi collocati in questo ambito sono:

• Numerical Optimization and Data Science
  
• Operations Research