Abstract: Sia $K$ un campo di numeri e sia $V$ una rappresentazione lineare e fedele di un gruppo finito $G$. Il problema di Noether consiste nel decidere quando il quoziente $V/G$ è una varietà razionale su $K$. Quando $K$ ha caratteristica $p>0$ e $G$ è un $p$-gruppo, è facile mostrare che $V/G$ è necessariamente razionale. D’altro canto, Saltman e poi Bogomolov hanno costruito molti esempi di $p$-gruppi $G$ tali che $V/G$ non è razionale sui numeri complessi.

In questo seminario noi studiamo cosa accade su un dvr $R$ di caratteristica mista $(0,p)$. Il nostro risultato principale dimostra che per tutti i gruppi trovati da Saltman e Bogomolov, non può esistere uno schema liscio e proiettivo su $R$ la cui fibra speciale (risp. generica) sia birazionale al rispettivo quoziente $V/G$. In particolare, in questi casi, $\mathbb{P}_R^n/G$ non può ammettere una risoluzione delle singolarità relativa ad $R$. La dimostrazione è una combinazione della teoria di Hodge $p$-adica e dello studio delle forme differenziali in caratteristica positiva.