Laurea magistrale in matematica?

Nonostante il suo elevato grado di astrazione, l’algebra moderna ha profondi collegamenti con molti altri settori della matematica e di altre scienze. Ciò vale in particolare per l’algebra commutativa (che studia anelli commutativi e moduli su di essi), di cui nel corso di Istituzioni di Algebra si esplorano i legami con la geometria algebrica e la teoria dei numeri. Altri importanti ambiti algebrici, come algebra omologica e algebra non commutativa, sono trattati nei corsi di Algebra superiore e di Complementi di Algebra (attivati ad anni alterni).

Un aspetto che caratterizza la geometria moderna è l’intrinseca non linearità dei problemi. In prima approssimazione gli oggetti di studio diventano luoghi di zeri di equazioni algebriche o più generalmente differenziali. Tali luoghi sono curvi, spesso con topologia non banale, ma descrivibili localmente per mezzo di coordinate. La perdita di linearità si riflette nella necessità di una riflessione sulle strutture geometriche, sulla dialettica tra locale e globale, sulla ricerca di un linguaggio che permetta di recuperare, in qualche modo, le costruzioni tipiche del calcolo negli spazi euclidei.
Il corso istituzionale di geometria (Istituzioni di Geometria Superiore) propone un’introduzione alla teoria delle varietà, che rappresenta uno dei fulcri della geometria moderna, con forti interconnessioni in altri ambiti della matematica e della fisica teorica.
Gli altri corsi di geometria, Curve algebriche e superfici di Riemann e Geometria Superiore (attivati ad anni alterni), sono il tentativo di dare un’introduzione a tematiche più avanzate.

Due tratti caratteristici percorrono gli insegnamenti offerti nell’ambito dell’Analisi Matematica: il ruolo centrale giocato dalle problematiche che ruotano attorno alle equazioni differenziali e al concetto collegato di ottimalità, nella sua accezione più generale; e l’ambiente funzionale in cui queste problematiche trovano la loro naturale collocazione. I corsi di Analisi Funzionale e di Analisi Funzionale ed Equazioni Differenziali riprendono lo studio generale degli spazi infinito dimensionali già toccati nella laurea triennale, ne sviluppano le proprietà principali e definiscono gli ambienti funzionali e gli strumenti idonei per l’analisi dei problemi differenziali. I corsi di Evolution Equations e di Calcolo delle Variazioni sono a carattere piu’ monografico e introducono alle questioni più rilevanti nei rispettivi ambiti.

Tra gli importanti aspetti della moderna Probabilità ci sono la teoria dei processi stocastici e le applicazioni alla finanza matematica. Oltre al corso istituzionale di Probabilità, sono previsti il corso Processi stocastici che fornisce gli elementi di base di questa teoria e il corso Finanza Matematica che si concentra su importanti applicazioni della Probabilità.

Secondo un’avvincente ricostruzione della storia dei Sapiens, la rivoluzione iniziata dalla scienza moderna nel ‘600 si differenzia dalle forme di conoscenza che l’hanno preceduta per l’ammissione di ignoranza dinanzi al mondo e per la centralità dell’osservazione e della matematica nella costruzione di una nuova conoscenza. Il ruolo dello scienziato è raccogliere osservazioni e usare strumenti matematici per comporre le osservazioni in teorie coerenti. In questo quadro generale, tra i più accreditati del mondo occidentale, il nostro ambito modellistico si prefigge di fornire gli strumenti matematici per costruire le connessioni che formano le teorie. Così la teoria dell’elasticità o della materia soffice, come la meccanica in tutte le sue forme, classica, statistica o quantistica, diventano occasioni per l’apprendimento di un metodo di comprensione del reale. Questo è il nostro contributo al nuovo paradigma dell’apprendimento più adatto ai tempi di rapido cambiamento che viviamo e ben sintetizzato nell’aforisma insegnare a imparare.

Le equazioni differenziali ed integrali, una volta formulate con gli strumenti del calcolo delle variazioni, possono essere risolte al calcolatore mediante il Metodo degli Elementi Finiti. Il corso di Elementi Finiti fornisce le basi teoriche del metodo, ne discute gli aspetti di implementazione algoritmica, e rappresenta un naturale complemento numerico ai corsi dell’ambito analitico. Il corso di Metodi Numerici Avanzati per le Equazioni alle Derivate Parziali sviluppa ulteriormente la tematica dal punto di vista metodologico, presentando anche alcuni argomenti di ricerca attuale. Infine, il corso di Biomatematica presenta tecniche numeriche dal punto di vista dell’applicazione, specializzandosi sui modelli della fisiologia cellulare, utilizzati esempio in elettrocardiologia.

Nelle scienze moderne, lo studio dei fenomeni naturali e sociali, tutti caratterizzati dall’interazione e aggregazione di agenti diversi, avviene attraverso lo sviluppo e l’analisi di modelli matematici. Che si tratti di fenomeni che obbediscono a principi variazionali o di dissipazione, che siano deterministici o aleatori, la loro comprensione richiede un ampio ventaglio di conoscenze interdisciplinari e l’abilità di connettere tra loro scale di spazio e di tempo diverse. Così, per esempio, in una formazione equilibrata, le teorie della meccanica classica non saranno disgiunte da quelle della meccanica statistica o quantistica. I corsi offerti dal curriculum, alcuni monografici e con approfondimenti diversi in anni diversi, rappresentano un’occasione non comune per la creazione di un abito mentale genuinamente interdisciplinare. Obiettivo primario dell’indirizzo è formare matematici in grado di interagire costruttivamente con gli esperti delle diverse scienze applicate in attività di ricerca o professionali ad alto contenuto innovativo.

I fenomeni di interesse in ambito fisico, biologico, economico e sociale sono descritti nel linguaggio matematico in termini di problemi differenziali, integro-differenziali, problemi di ottimizzazione, tipicamente su domini spaziali complessi. La simulazione al calcolatore é oggigiorno centrale nello studio di tali fenomeni ed è lo strumento centrale nella progettazione ingegneristica, in finanza, e nella diagnosi e pianificazione in campo medico.
I corsi offerti nell’ambito numerico-computazionale consentono di apprendere i metodi numerici più utilizzati e promettenti nel moderno calcolo scientifico, dal punto di vista della loro formulazione astratta, della buona posizione matematica, e dal punto di vista della loro programmazione su sistemi di calcolo moderni.

Uno dei più vecchi sogni del nostro sapere è quello di capire il funzionamento dell’intelligenza degli esseri umani e la possibilità di emularne i processi cognitivi da parte di sistemi automatici. L’intelligenza artificiale rappresenta quindi una delle più grandi sfide della scienza moderna coinvolgendo un ampio spettro di discipline, in cui la matematica ha un ruolo centrale ed è fortemente coinvolta in tutti i suoi tradizionali settori (logica, algebra, geometria, analisi matematica, probabilità, fisica matematica, analisi numerica e ricerca operativa). La matematica affronta la varietà dei problemi che si presentano in Intelligenza Artificiale con modelli, metodi e applicazioni, rispondendo quindi ad esigenze sia di tipo teorico, che numerico ed implementativo. I corsi del percorso modellistico e applicativo offerti dal nostro dipartimento, servono per studiare le nozioni fondamentali utilizzate in tale contesto interdisciplinare. Per fare due esempi, il corso di ottimizzazione espone la teoria matematica che sta alla base di qualsiasi sistema di apprendimento automatico (ad esempio le reti neurali sono addestrate con metodi del primo ordine).
Invece il corso di modelli e algoritmi di ottimizzazione insegna a come riformulare problemi decisionali in termini di un modello matematico astratto, con viene poi risolto con dei software di ottimizzazione. Infine, il corso di analisi dei dati, aiuta a interpretare il contenuto della mole immensa di dati digitali che viene prodotta ai giorni nostri, in termini di spazi vettoriali a dimensione alta.
Per approfondire il ruolo della matematica per l’intelligenza artificiale, si può consultare il sito Gruppo UMI – Matematica per l’Intelligenza Artificiale e il Machine Learning.