I risultati noti riguardo la razionalità/irrazionalità delle intersezioni complete lisce di Fano di dimensione almeno $3$ suggeriscono l’esistenza di una condizione in grado di spiegare le conoscenze attuali in materia e, molto ottimisticamente, di fornire uno strumento per affrontare o capire vari casi aperti: indice uno; indice due;
quartiche quattro e cinque dimensionali; etc.

Dopo aver introdotto precisamente il problema trattato e dopo aver analizzato vari esempi guida, presenteremo alcuni risultati recenti su questi argomenti basati sulla combinazione di fatti noti di teoria di Hogde con metodi di geometria birazionale e della teoria delle deformazioni di curve razionali.