Equazione di trasporto-diffusione, approccio con l’approssimazione basata sulla soluzione fondamentale dell’equazione del calore.

Hisao Fujita Yashima (École Normale Supérieure de Constantine, Algeria)

Abstract.

Si considera l’equazione di trasporto-diffusione $$\partial_t u + v \cdot \nabla u – \kappa \Delta u = f(t,x, u )\quad \text{in } \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d,$$ dove $v = v(t,x)$ è una funzione data; l’operatore $\kappa\Delta$ può essere sostituito da un operatore ellittico più generale. Ispirandosi all’idea della rappresentazione stocastica della soluzione dell’equazione parabolica (equazione di Kolmogorov inversa), si propone di costruire una famiglia di soluzioni approssimate $ u^{[n]} (t,x) $, utilizzando la soluzione fondamentale dell’equazione del calore e la traslazione dovuta al trasporto in ciascun intervallino $ [t^{[n]}_{k-1}, t^{[n]}_{k}]$ del tempo discretizzato. Sotto l’ipotesi della regolarità dei dati si dimostrano la convergenza uniforme di $ u^{[n]} (t,x) $ e di loro derivate e il passaggio al limite. Questo metodo si applica senza creare difficoltà anche quando il coefficiente di diffusione tende a 0.