Convergenza della soluzione dell’equazione di trasporto-diffusione alla soluzione dell’equazione di trasporto.

Hisao Fujita Yashima (École Normale Supérieure de Constantine & École Nationale Supérieure de Mathématiques, Algeria)

Abstract: Utilizzando un’approssimazione particolare della soluzione dell’equazione di trasporto-diffusione, si dimostra che, quando il coefficiente di diffusione tende a 0, sotto opportune condizioni di regolarità, la soluzione dell’equazione di trasporto-diffusione in $ \mathbb{R}^d $, assieme a tutti i termini che figurano nell’equazione, converge alla soluzione dell’equazione di trasporto e ai termini dell’equazione di trasporto. In particolare, se $u^{[\kappa]} (t,x) $ è la soluzione dell’equazione di trasporto-diffusione con il coefficiente di diffusione $ \kappa$ e $ u^{[0]} (t,x) $ è la soluzione dell’equazione di trasporto, allora si ha
$$ \sup_{(t,x) \in [0 , \tau ] \times \mathbb{R}^d }|u^{[\kappa]}(t,x) -u^{[0]}(t,x)| \leq {K}_{0, \tau } \kappa , $$
$$ \sup_{(t,x) \in [0 , \tau ] \times \mathbb{R}^d , \, i \in\{ 1, \cdots , d \} }\Big| \frac{\partial }{ \partial x_i } u^{[\kappa]} ( t, x) -\frac{\partial }{ \partial x_i } u^{[0]} ( t, x) \Big| \leq {K}_{1, \tau } \kappa , $$
ove $ {K}_{0, \tau } $ e $ {K}_{1, \tau } $ sono costanti indipendenti da $\kappa$. Questo risultato si è ottenuto in collaborazione con Latifa Ait Mahiout dell’ENS de Kouba (Algeria).

Nel seminario si discuterà anche sull’approssimazione della soluzione dell’equazione di trasporto-diffusione nel caso in cui il coefficiente di diffusione dipenda da $x\in \mathbb{R}^d $ e sull’utilizzo degli spazi di Hölder nell’approssimazione della soluzione dell’equazione di trasporto-diffusione.