Università degli Studi di Pavia

Dipartimento di Matematica ''F. Casorati''

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Analisi matematica 4

Docenti:
Colli Pierluigi
Anno accademico:
2016/2017
Codice corso:
502225
Crediti formativi:
9
Ambito:
MAT/05
Decreto Ministeriale:
270/04
Ore di lezione:
84
Periodo:
I semestre
Lingua di insegnamento:
Italiano

Obiettivi

Il corso, diviso in due parti, si propone di fornire un'esposizione sistematica della teoria astratta della misura, con complementi sul teorema fondamentale del calcolo integrale, e di presentare le definizioni e i primi risultati sugli spazi normati, di Banach e in particolare di Hilbert, discutendo anche di proiezioni e serie di Fourier astratte. La teoria è accompagnata da esempi ed esercizi.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in aula.

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova scritta di non piu' di 2 ore (durante la quale non è consentito l'uso di appunti, testi, minicalcolatori, ...) piu' una prova orale. L'esito della prova scritta non è vincolante per la partecipazione alla prova orale e la buona riuscita dell'esame, ma ovviamente costituisce un importante elemento di giudizio per la valutazione finale.

Prerequisiti

Si presuppongono note le nozioni fondamentali di Analisi Matematica 1, 2 e 3.

Programma

Teoria della misura: sigma-algebra, misure, funzioni misurabili, misure esterne e costruzione di Caratheodory, misura di Lebesgue, misura di Hausdorff, integrale, teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata, convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura, rapporto tra le convergenze, teorema di Severini-Egoroff, disugualianza di Chebychev, misure prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini, misure reali, decomposizione di Hahn, misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, derivata di Radon-Nikodym, funzioni assolutamente continue, funzioni a variazione limitata, teorema fondamentale del calcolo.

Spazi normati e di Banach: basi della teoria. Sottospazi. Operatori lineari e continui. Spazio duale. Numerosi esempi. Spazi L^p con le loro proprietà: disuguaglianze di Young, Hoelder, Minkowski. Completezza.

Spazi di Hilbert, teoremi di Riesz e delle proiezioni. Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di Fourier in L^2_T e completezza del sistema exp(ikt). Convoluzioni con polinomi trigonometrici e nucleo di Fejer.

Bibliografia

G. Gilardi: Analisi 3, McGraw-Hill,
H. Brezis: Analisi Funzionale, Liguori


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